作业帮已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数)若对任意的x∈（0,+无穷）,都有f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:40:18
若对任意的x∈（0,+无穷）,都有f(x)](/uploads/image/z/3813118-70-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3De%5E%5B%28kx-1%29%2F%28x%2B1%29%5D%28e%E6%98%AF%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%BA%95%E6%95%B0%29%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84x%E2%88%88%EF%BC%880%2C%2B%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%89%2C%E9%83%BD%E6%9C%89f%28x%29)
已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数)若对任意的x∈（0,+无穷）,都有f(x)
已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数)
若对任意的x∈（0,+无穷）,都有f(x)
已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数)若对任意的x∈（0,+无穷）,都有f(x)
已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数) ,若对任意的x∈（0,+无穷）,都有f(x)
令x+1=g(x)
当x=0时，
f(0)≈0.36
f'(x)
设kx-1/x+1 = t
那么x = (t+1)/(k-t)
所以只需满足f(t) = e^t < (t+1)/(k-t) + 1 = (k+1)/(k-t)
先看k=-1此时f(x) = 1/e < x+1在（0，+无穷）的时候显然是成立的，所以要求最大整数k，那么必须满足k>=-1
t=k-(k+1)/(x+1)在k>-1和x>0的时候的值域为(-1,k)
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设kx-1/x+1 = t
那么x = (t+1)/(k-t)
所以只需满足f(t) = e^t < (t+1)/(k-t) + 1 = (k+1)/(k-t)
先看k=-1此时f(x) = 1/e < x+1在（0，+无穷）的时候显然是成立的，所以要求最大整数k，那么必须满足k>=-1
t=k-(k+1)/(x+1)在k>-1和x>0的时候的值域为(-1,k)
所以只需在t∈(-1,k)的时候满足e^t < (k+1)/(k-t)即可
g(t) = (k+1)/(k-t)在t∈(-1,k)上的最小值在t=-1的时候取得为-1
所以可以知道当k>-1的时候e^t与g(t)必然存在交点，所以k的最小值为k=-1
收起
构造函数g(x)=x+1-f(x)=x+1-e^[(kx-1)/(x+1)]=x+1-e^[(kx+k-k-1)/(x+1)]=x+1-e^[k-(k+1)/(x+1)]
g(0)=1-1/e
现在只要证明g(x)在（0，+∞）是增函数即可
g'(x)=1-e^[k-(k+1)/(x+1)]*(k+1)/(x+1)^2>0
(k+1)*e^k*e^(x+1)/(k+1)]<(x+1)^2
这个方程好象不容易解呀
设g(x)=x+1-f(x)=x+1-e^[(kx-1)/(x+1)]
g'(x)=1-{[k(x+1)-kx+1]/(x+1)²}*e^[(kx-1)/(x+1)]
=1-[(k-1)/(x+1)²]*e^[(kx-1)/(x+1)]
所以(1)当k<1时， g'(x)>0 单增 g(x)>g(0)>1-1/e>0成立
(2)当k>1时，g'(x)<0单减，g(x)