作业帮一道高考数列题,请高手们回答已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.算出an=1-1/3^n λ最小值=2答案中写的：a[n]=1-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 05:16:40
![一道高考数列题,请高手们回答已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.算出an=1-1/3^n λ最小值=2答案中写的：a[n]=1-1](/uploads/image/z/3929907-3-7.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E8%80%83%E6%95%B0%E5%88%97%E9%A2%98%2C%E8%AF%B7%E9%AB%98%E6%89%8B%E4%BB%AC%E5%9B%9E%E7%AD%94%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E4%B8%AD%2Ca1%3D2%2F3%2Ca2%3D8%2F9%2C%E5%BD%93n%E2%89%A52%E6%97%B6%2C3a%28n%2B1%29%3D4an-a%28n-1%29%2C%28n%E2%88%88N%2A%29%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fn%E2%88%88N%2A%E6%9C%89%CE%BBa1a2a3%E2%80%A6an%E2%89%A51%EF%BC%88%CE%BB%E2%88%88N%2A%29%E5%9D%87%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%CE%BB%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.%E7%AE%97%E5%87%BAan%3D1-1%2F3%5En+%CE%BB%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%3D2%E7%AD%94%E6%A1%88%E4%B8%AD%E5%86%99%E7%9A%84%EF%BC%9Aa%5Bn%5D%3D1-1)
一道高考数列题,请高手们回答已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.算出an=1-1/3^n λ最小值=2答案中写的：a[n]=1-1
一道高考数列题,请高手们回答
已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)
若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.
算出an=1-1/3^n
λ最小值=2
答案中写的：
a[n]=1-1/3^n
∵a[1]a[2]a[3]…a[n]
=(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)
∴先用数学归纳法证明：
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)≥(1+1/3^n)/2
请问这一步怎么想到的?有没有什么通法?
一道高考数列题,请高手们回答已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.算出an=1-1/3^n λ最小值=2答案中写的：a[n]=1-1
λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,应该可以想到分离变量,即
λ≥1/[a1a2a3…an], 求出右边的最大值即可,等价于求a1a2a3…an的最小值.
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)》1-1/3-1/3^2-.-1/3^n=(1+1/3^n)/2
用数学归纳法,以及适当的放缩,容易证明左边的不等式.
因为λ∈N*,所以 λ最小值=2