作业帮已知二项式（1/2+2x)^n,若展开式中前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 13:19:51
已知二项式（1/2+2x)^n,若展开式中前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.
已知二项式（1/2+2x)^n,若展开式中前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.
已知二项式（1/2+2x)^n,若展开式中前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.
第一项的二项式系数：1,第二项的二项式系数：n,第三项的二项式系数：n*(n-1)/2
三项和为：1+n+n*(n-1)/2=79,整理得：n^2+n-156=0,解得：n=-13(舍去),n=12
原式可化为：[(1/2)^12]*(1+4x)^12
可以只考虑 (1+4x)^12 的系数的最大值,第K项的系数记为CK=4^(k-1)*C(12)(K-1),其中4^(k-1)递增,Cn(K)在k=7时最大,之后递减,且C(12)(7)=6/7*C(12)(6),4^7=4*4^6,所以C7>C6
由此推出,当k/(n-k+1)<4时,CK递增,k/(n-k+1)>4时,CK递减,又因为10/3<4,11/2>4,
所以k=10时系数最大,为：：[(1/2)^12]*4^9*C(12)(9)=2^6*12*11*10/(1*2*3)=64*220=14080
此项为：14080*x^9
第一项的二项式系数：1，,第二项的二项式系数：n，第三项的二项式系数：n*(n-1)/2
三项和为：1+n+n*(n-1)/2=79,整理得：n^2+n-156=0，解得：n=-13(舍去),n=12
原式可化为：[(1/2)^12]*(1+4x)^12
可以只考虑 (1+4x)^12 的系数的最大值，第K项的系数记为CK=4^(k-1)*C(12)(K-1),其中4^(k...
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第一项的二项式系数：1，,第二项的二项式系数：n，第三项的二项式系数：n*(n-1)/2
三项和为：1+n+n*(n-1)/2=79,整理得：n^2+n-156=0，解得：n=-13(舍去),n=12
原式可化为：[(1/2)^12]*(1+4x)^12
可以只考虑 (1+4x)^12 的系数的最大值，第K项的系数记为CK=4^(k-1)*C(12)(K-1),其中4^(k-1)递增，Cn(K)在k=7时最大，之后递减，且C(12)(7)=6/7*C(12)(6)，4^7=4*4^6,所以C7>C6
由此推出，当k/(n-k+1)<4时，CK递增，k/(n-k+1)>4时，CK递减，又因为10/3<4,11/2>4,
所以k=10时系数最大，为：：[(1/2)^12]*4^9*C(12)(9)=2^6*12*11*10/(1*2*3)=64*220=14080
此项为：14080*x^9
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