三角形ABC是等边三角形延长CB到D 延长CA到E 使CE=BD证明三角形DEA是等腰三角形求大神解答今天要解答老师说这个是需要辅助线的大神们求解答啊

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 03:47:27

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三角形ABC是等边三角形延长CB到D 延长CA到E 使CE=BD证明三角形DEA是等腰三角形求大神解答今天要解答

老师说这个是需要辅助线的大神们求解答啊

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∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AC=AB=BC
过E做EF∥AB交BD于F
∴∠EFC=∠ABC=60°
∠CFE=∠BAC=60°
∴△CEF是等边三角形
∴CE=CF=EF
∵CE=BD
∴BD=CF=EF
∴DF+BF=BF+BC
∴DF=BC=AB
∵∠DFE=180°-∠CFE=180°-60°=120°
∠ABD=180°-∠ABC=180°-60°=120°
∴∠DFE=∠ABD
在△DFE和△ABD中
AB=DF,BD=EF,∠DFE=∠ABD
∴△DFE≌△ABD
∴AD=ED
∴ 三角形DEA是等腰三角形

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分析：证明线段相等目前有通过证明“三角形全等”和“等角对等边”两个主要的方法，而在有关线段的条件较多的情况下，考虑全等思路可能好一些，另外，可用递推法进行分析，即：若有DA=ED就应有分别以DA、ED为一边的两个三角形全等，再看DA即三角形DAC的一条边（又是三角形EAD的一条边），由此需要找一个（或构造一个）以ED为边的三角形，并且此三角形要有可能与三角形DAC全等，由此辅助线就不再是盲目的事情。
证明：（方法一）延长CE到F，使EF=BC=AC，连结DF
∵CE=BD
∴AF=DB
∵三角形ABC为正三角形
∴CD=CF, 角C=60°
∴三角形DCF为等边三角形
∴角F=60°， DF=CD
在三角形DAC和三角形DEF中
AC=EF（已证）
角C=角F=60°（已证）
DC=DF（已作）
∴三角形DAC≌三角形EFD （SAS）
∴DF=ED （全等三角形对应边相等）
（方法二）过D作DF‖AB交AE延长线于F
∵三角形ABC为等边三角形
∴角CBA=角CAB=角C=60°,AB=BC=AC
∵DF‖AB
∴角CDF=角CBA=60°（两直线平行，同位角相等）
∴角F=角CDF=角C=60°
∴三角形FCD为等边三角形
∴FD=CD=CF
即CE+EF=DB+BC
∵BD=CE
∴FE=BC=AC
在三角形DAC和三角形DEF中
AC=EF（已证）
角C=角F=60°（已证）
DC=DF（已作）
∴三角形DAC≌三角形EFD （SAS）
∴DF=ED （全等三角形对应边相等）

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