论述牛顿与莱布尼兹分别对微积分的产生所起的作用

论述牛顿与莱布尼兹分别对微积分的产生所起的作用
论述牛顿与莱布尼兹分别对微积分的产生所起的作用

论述牛顿与莱布尼兹分别对微积分的产生所起的作用
牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的,特别在使用无限小概念上的随意与混乱,这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评.
　　1695年,荷兰物理学家纽汶蒂（B.Nieuwentyt）在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”,莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等.最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱,伯克莱（G.Berkeley,1685—1753）在1734年担任克罗因（在今爱尔兰境内）主教,同年发表小册子《分析学家,或致一位不信神的数学家》（The Analyst,a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician）,副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版《原理》的哈雷（E.Haley）.伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎,没有为他们的方法提供合法性证明.他集中攻击牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设,例如在首末比方法中,为了求幂 的流数,牛顿假设 有一个增量 ,并以它去除 的增量得 ,然后又让 “消失”,得到 的流数 ,伯克莱指出这里关于增量 的假设前后矛盾,是“分明的诡辩”.他讥讽地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢?它们既不是有限量,也不是无限小,又不是零,难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗?”《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数术,但对莱布尼兹的微积分也同样竭力非难,认为其中的正确结论,是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得.
　　伯克莱对微积分学说的攻击主要是出于宗教的动机,目的是要证明流数原理并不比基督教义“构思更清楚”、“推理更明白”.但他的许多批评是切中要害的,在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷,刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力.为了回答伯克莱的攻击,在英国本土产生了许多为牛顿流数论辩护的著述,其中以麦克劳林《流数论》最为典型,但所有这些辩护都因坚持几何论证而显得软弱无力.欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难.在18世纪,这方面的代表人物是达郎贝尔、欧拉和拉格朗日.
　　拉格朗日在《解析函数论》（Theorie des functions analytiques,1797）一书中,主张用泰勒级数来定义导数：函数 的导数 被定义为展开式
　　中 的系数,以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“纯粹的代数分析艺术”.
　　18世纪数学家们一方面努力探索使微积分严格化的途径；一方面又往往不顾基础问题的困难而大胆前进,大大扩展了微积分的应用范围,尤其是与力学的有机结合,已成为18世纪数学的鲜明特征之一,这种结合的紧密程度是数学史上任何时期不能比拟的.当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家.欧拉的名字同刚体运动与流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力学》（Traite de mechanique analitique,1788）,它将力学变成分析的一个分支,拉普拉斯许多最重要的数学成果是包含在他的五大卷《天体力学》中,这种广泛的应用成为新思想的源泉而使数学本身大大受惠,一系列新数学分支在18世纪成长起来.
　　常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的,牛顿和莱布尼兹的著作中都处理过与常微分方程有关的问题.
　　18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774—1775年间用参数变易法解出了一般 阶变系数非齐次常微分方程.简单情形的参数变易法可追溯到牛顿和约翰.伯努利,欧拉在1739年则用此法解出了二阶方程 .拉格朗日研究一般方程
　　其中 皆为 的函数.已知相应齐次方程的通解为
　　此处 为积分常数而 是齐次方程的特解.拉格朗日将 看作 的函数并利用 的各阶微商表达式及原方程求出 和 ,从而得到非齐次方程解.
　　参数变易法来源于天体力学中的三体问题.三体问题为常微分方程理论提供了持久的刺激.在此问题中扮演中心角色的是一组二阶方程：
　　分别表示三个球形物体的质量, 表示第 个物体质量中心的变动坐标, 为从 到 的距离.由于三体问题方程不可能精确地解出,其研究中一个重要的方向就是寻求近似解,即所谓“摄动理论”.参数变异法是摄动理论的有力工具.拉普拉斯《天体力学》对三体问题及摄动理论也有重大贡献.
　　在18世纪,由解决一些具体物理问题而发展起来的常微分方程,已经成为有自己的目标与方法的新数学分支.
　　拉格朗日生于意大利都灵,19岁就被任命为都灵炮兵学校数学教授.欧拉和达朗贝尔力荐他到柏林科学院任职.普鲁士王弗里德里克写信邀请拉格朗日说：“欧洲最大之王希望欧洲最大的数学家到宫中为伴”.从1766年到1787年,拉格朗日长期在柏林科学院服务.弗里德里克死后,他接受法王路易十六之邀到巴黎定居.法国大革命期间,革命政府驱走了所有的外籍院士,却破例让拉格朗日流下来并负责法国的度量衡改革.
　　在18世纪,微分方程,变分法等一些新的分支与微积分本身一起,形成了被称之为“分析”的广大领域,与代数、几何并列为数学的三大学科,并且在这个世纪里,其繁荣程度远远超过了代数和几何.18世纪数学家们不仅大大开拓了分析的疆域,而且赋予它与几何相对的意义,他们力图用纯分析的手法以摆脱几何论证的束缚,这种倾向成为18世纪数学的又一大特征,在拉格朗日的工作中达到了登峰造极的程度.拉格朗日在他的《分析力学》中声称：“这本书中找不到一张图,我所叙述的方法既不需要作图,也不需要任何几何的或力学的推理,只需要统一而有规则的代数（指分析）运算