高中反三角函数问题arccosx+arccosy+arccosz=∏,求证x2+y2+z2+2xyz=1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:08:39
高中反三角函数问题arccosx+arccosy+arccosz=∏,求证x2+y2+z2+2xyz=1

高中反三角函数问题arccosx+arccosy+arccosz=∏,求证x2+y2+z2+2xyz=1
高中反三角函数问题
arccosx+arccosy+arccosz=∏,求证x2+y2+z2+2xyz=1

高中反三角函数问题arccosx+arccosy+arccosz=∏,求证x2+y2+z2+2xyz=1
证明：(注：这里用“√(x)”表示根号下x,用“x^2”表示x平方)
设α=arccosx,β=arccosy,γ=arccosz,则
cosα=x,cosβ=y,cosγ=z,sinα=√(1-x^2),sinβ=√(1-y^2)
由题意：α+β+γ=π,所以,γ=π-(α+β)
所以,cosγ=cos[π-（α+β）]=-cos(α+β)=sinαsinβ-cosαcosβ
即z=√(1-x^2)√(1-y^2)-xy
z+xy=√(1-x^2)√(1-y^2)
两边平方得,化简得
x^2+y^2+z^2+2xyz=1

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