一个关于勾股定理的数学问题在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证△ABC是直角三角形.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 15:28:19

一个关于勾股定理的数学问题在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证△ABC是直角三角形.
一个关于勾股定理的数学问题
在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证△ABC是直角三角形.

一个关于勾股定理的数学问题在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证△ABC是直角三角形.
证明,
延长CD至E,并使DE=DC.
连接AE,BE.
则因为D是AB中点,所以AD=DB.
又CD=DE,且角BDC=角ADE是对顶角,
所以三角形BCD全等于三角形ADE,
因此BC = AE,同理有AC=BE,所以ACBE是平行四边形.
在三角形CAE中,AE=BC,CE=2CD,
因为AC^2 + BC^2 = AC^2 + AE^2 = 4CD^2 = (2CD)^2 = CE^2
即AC^2 + AE^2 = CE^2
所以ACE是直角三角形,角CAE=90度.
所以角ACB=180-角CAE=90度,故ABC是直角三角形.
希望有用.

因为中线所以CD=二分之一AB

AC²+BC²=4CD² 即AC²+BC²=4（二分之一AB）²=AB平方

三角形ABC是直角三角形

取AC中点E，连结DE
由中位线定理，AC²+BC²=4CE^2+4DE^2=4CD²,即CE^2+DE^2=CD^2,DE垂直AC，而DE平行BC,故∠AXB=90

延长cd到e使cd=de易得三角形acd全等三角形bed于是有AC²+BC²=4CD²得AC²+BC²=ce²故∠cbe为直角从而推出∠acb为直角 ok！写的粗糙，请谅解！思路如果还不清问我！！！！！！！！！！

延长CD至E，使得CD＝DE，再连接AE、BE，则有ACBE为平行四边形，即有AC＝BE，AE＝BC，EC＝2CD。最后由条件可知，角EBC为直角，所以就会有角BCA为直角，故而三角形ABC为直角三角形。

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