求证:当x>0时,1/(x+1)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 07:10:46

求证:当x>0时,1/(x+1)
求证:当x>0时,1/(x+1)

求证:当x>0时,1/(x+1)
法1.
利用函数单调性证明
移项即证ln(1+x)-x/(x+1)>0,x>0
令f(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>=0
求导f'(x)=1/(x+1)-[(x+1)-x]/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0,(x>0)
知f(x)在x>0上单调递增,又f(x)可在x=0处连续.
则有f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x/(x+1)>0
亦即1/(x+1)0命题得证.
法2.
中值定理证明
记f(x)=ln(x+1),g(x)=x,(x>0)且g'(x)≠0,f(0)=g(0)=0
显然两函数在[0,x]上满足柯西中值定理条件
则存在ξ∈(0,x),使得[ln(x+1)]/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ)=1/(1+ξ)
因为1/(1+ξ)>1/(1+x),其中ξ∈(0,x),
于是得到[ln(x+1)]/x>1/(1+x),x>0命题得证.

求证:当x>0时,1+x 当x>0时求证(1+x^-1)^X 当x>0时,求证ln[(1+x)/x] 求证当x>0时,x>ln(1+x) 当x≠0时,求证e^x>1+x 当x>0时,求证ln[(1+x)/x] 求证：当x>0 时,(1+1/x)^x < e求证：当x>0 时,(1+1/x)^x < e 求证:当x>0时,1/(x+1) 求证：当x>0时,lnx≤x-1 当X属于（0,1)时,求证e^(2x) < (1+x)/(1-x) 求证：当x>0时,e^x>(x^2)/2+x+1 当x>0时,求证：In(1+x)>x-0.5x^2 当x>0时,求证：In(1+x)>x-0.5x^2 当x趋向于0时,求证lim（2x+1）/x-1=-1 求证：当X>0时,（1+1/X）的x次方求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立. 当X＞0时,求证：sinx+cosx＞1+x-x^2 用中值定理求证,当x>0时,x/(1+x)