作业帮求高中数学中更相减损术的原理人教版高中数学必修三中介绍了更相减损术,但没阐明原理.希望可以帮我简单介绍一下它的原理,勿粘贴,不要太多公式.尽快!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 08:07:11
求高中数学中更相减损术的原理人教版高中数学必修三中介绍了更相减损术,但没阐明原理.希望可以帮我简单介绍一下它的原理,勿粘贴,不要太多公式.尽快!
求高中数学中更相减损术的原理
人教版高中数学必修三中介绍了更相减损术,但没阐明原理.希望可以帮我简单介绍一下它的原理,勿粘贴,不要太多公式.尽快!
求高中数学中更相减损术的原理人教版高中数学必修三中介绍了更相减损术,但没阐明原理.希望可以帮我简单介绍一下它的原理,勿粘贴,不要太多公式.尽快!
《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”
证明：(a,b)=(a-nb,b)
不妨设d是a、b的最大公因子.
即a=rd,b=sd.并且(r,s)=1,即存在x、y,使得xr+ys=1.
从而a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(r-ns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1；于是有：d=(a-nb,b),证毕.
“更相减损术”又名“欧几里德辗转相除法”
对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：
推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）
推论2、...
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“更相减损术”又名“欧几里德辗转相除法”
对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：
推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）
推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除
因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h－t)c
所以：(a±b)也能被c整除
推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b
因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1
所以：a=b
如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则 gcd(m,n)=gcd(n,r)。
证明是这样的: 设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)
a=gcd(m,n)
m能被a整除，并且n也能被a整除，则由推论1得：qn也能被a整除
由推论2得：m-qn也能被a整除
而m-qn=r，即r也能被a整除，所以a=b
或
b=gcd(n,r)
n能被b整除，并且r也能被b整除，则由推论1得：qn也能被b整除
由推论2得：qn+r也能被b整除
而m=qn+r，即m也能被b整除，所以a=b
例如计算 gcd(546, 429)
gcd(546, 429) 546=1*429+117
=gcd(429, 117) 429=3*117+78
=gcd(117, 78) 117=1*78+39
=gcd(78, 39) 78=2*39
=39
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