作业帮证明 高等代数多项式高等代数问题,用多项式部分知识证明!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 18:18:04
证明 高等代数多项式高等代数问题,用多项式部分知识证明!
证明 高等代数多项式
高等代数问题,用多项式部分知识证明!
证明 高等代数多项式高等代数问题,用多项式部分知识证明!
先证例8.
证明：
先证充分性.
若x | f( x ),则我们可以设
f(x)=x•g(x).
从而f²(x)=x²g²(x)
这就证明了x²∣f²(x).
再证必要性.
即设有x²∣f²(x),需要证明x | f( x ).
用反证法.
假设x不整除f(x),于是可设
f(x)=x•g(x)+b,式中b是一个不等于零的常数.
从而有
f²(x)=x²•g²(x)+2bx•g(x)+b²
因为我们知道,若x²∣f²(x),则f²(x)必有一个根为0,
而上面的式子说明,0不是f²(x)的根,
所以x²不能整除f²(x).
这与作为已知的x²∣f²(x)是矛盾的.
从而,由反证法原理,我们完成了对命题必要性的证明.
再证例9.
证明：
先证充分性.
即证明若d∣n,则有（x^d-a^d)∣(x^n-a^n)
因为当d∣n,便存在正整数k（此题中的n为正整数）,使得
n=kd.
由此,我们要证明的只是
（x^d-a^d)∣(x^kd-a^kd)
用数学归纳法.
当k=1时,能整除是显然的.
现设当k=m时,结论成立,即
（x^d-a^d)∣(x^md-a^md)
现在我们来证明
（x^d-a^d)∣[x^（m+1）d-a^（m+1）d)].
因为
x^（m+1）d-a^（m+1）d
=x^(md+d）-a^（md+d）
=(x^d)(x^md)-(a^d)(a^md)
=(x^d)(x^md)-(x^d)(a^md)+(x^d)(a^md)-(a^d)(a^md)
=(x^d)[(x^md)-(a^md)]+(a^md)(x^d-a^d) ①
所以很明显x^d-a^d整除①式中的第二项(a^md)(x^d-a^d),
再由上面的（x^d-a^d)∣(x^md-a^md)可知,
x^d-a^d也整除①式中的第一项.
所以x^d-a^d便整除了这整个式子,即
（x^d-a^d)∣[x^（m+1）d-a^（m+1）d)].
由归纳法原理,我们就完成了命题充分性的证明.
再证明必要性.
我们要证明的是：
若（x^d-a^d)∣(x^n-a^n),则必有d∣n,或者说存在正整数k,使得n=kd.
用反证法.
假设n=kd+e,其中e正整数,且满足0＜e＜d.
于是
x^n-a^n
=x^（kd+e)-a^(kd+e)
=x^e•x^kd- a^e•a^kd
=x^e•x^kd-x^e•a^kd+x^e•a^kd- a^e•a^kd
=x^e(x^kd-a^kd)+a^kd(x^e-a^e)
由上面充分性的证明,我们可知x^d-a^d整除上式中的第一项.
而它明显不能整除上式中的第二项,
所以x^d-a^d不能整除x^n-a^n.
这与已知是矛盾的.
所以由反证法原理,我们也完成了对命题必要性的证明.