作业帮已知焦点在x轴上的椭圆,右顶点与右焦点的距离为（根3-1）,短轴长（2倍根2） 1,求椭圆方程 2,2.过左焦点 F有一直线l交椭圆于AB两点,求三角形OAB面积最大时直线l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 09:01:59
已知焦点在x轴上的椭圆,右顶点与右焦点的距离为（根3-1）,短轴长（2倍根2） 1,求椭圆方程 2,2.过左焦点 F有一直线l交椭圆于AB两点,求三角形OAB面积最大时直线l的方程
已知焦点在x轴上的椭圆,右顶点与右焦点的距离为（根3-1）,短轴长（2倍根2） 1,求椭圆方程 2,
2.过左焦点 F有一直线l交椭圆于AB两点,求三角形OAB面积最大时直线l的方程
已知焦点在x轴上的椭圆,右顶点与右焦点的距离为（根3-1）,短轴长（2倍根2） 1,求椭圆方程 2,2.过左焦点 F有一直线l交椭圆于AB两点,求三角形OAB面积最大时直线l的方程
（1）a-c=√3-1,2b=2√2,
则 a-c=√3-1,b^2=a^2-c^2=2 ,
解得 a=√3,c=1 ,所以 a^2=3,b^2=2 ,
椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1 .
（2）F（-1,0）,设 AB 方程为 x = my-1 ,
代入椭圆方程得 (my-1)^2/3+y^2/2=1,
化简得 (2m^2+3)y^2-4my-4=0 ,
所以 y1+y2=4m/(2m^2+3),y1*y2= -4/(2m^2+3) ,
SOAB=SOFA+SOFB=1/2*|OF|*|y2-y1|
=1/2*√[(y1+y2)^2-4y1*y2]
=2√3*√(m^2+1) / (2m^2+3) ,
令 t = √(m^2+1) ≥ 1 ,则 SOAB=2√3*t/(2t^2+1)=2√3 / (2t+1/t) ,
由均值定理,2t+1/t ≥ 2√2 ,当且仅当 2t=1/t 即 t = √2/2 时 2t+1/t 取最小值 2√2,
由于 t ≥ 1 ,因此当 t = 1 时 即 m = 0 时,2t+1/t 取最小值 3 ,
此时 SOAB 取最大值 2√3/3 ,直线 AB 方程为 x = -1 .
椭圆 a-c=√3-1， b=√2。
b^2=a^2-c^2=2, a-c=√3-1，故 a+c=2/(√3-1)=√3+1，
得 a=√3，c=1， 椭圆方程是 x^2/3+y^2/2=1.
左焦点 F(-1, 0), 设过 F 的直线L：y=k(x+1), 代入椭圆方程 x^2/3+y^2/2=1，
得 x^2/3+k^2(x+1)^2/2=1, ...
全部展开
椭圆 a-c=√3-1， b=√2。
b^2=a^2-c^2=2, a-c=√3-1，故 a+c=2/(√3-1)=√3+1，
得 a=√3，c=1， 椭圆方程是 x^2/3+y^2/2=1.
左焦点 F(-1, 0), 设过 F 的直线L：y=k(x+1), 代入椭圆方程 x^2/3+y^2/2=1，
得 x^2/3+k^2(x+1)^2/2=1, 即 (2+3k^2)x^2+6k^2x+3(k^2-2)=0,
得 |AB| =√(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)√[(x1+x2)^2)-4x1x2]
= √(1+k^2)√{[6k^2/(2+3k^2)]^2-12(k^2-2)/(2+3k^2)}
= 4√3(1+k^2)/(2+3k^2).
原点 O 到直线L的距离 d = |k*0-0+k|/√(1+k^2)=k/√(1+k^2).
S<△OAB>=(1/2)|AB|d = 2√3k√(1+k^2)/(2+3k^2).
dS/dk=2√3√(1+k^2)/(2+3k^2)^2, 当 k 取无穷大时 dS/dk=0.
故所求 L 的方程是 x=-1.
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