作业帮两个不同的整数,它们的积可被和整除,这样一对数,是好数,问在1~16中有几对这样的数?快快后天要考
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:28:50
两个不同的整数,它们的积可被和整除,这样一对数,是好数,问在1~16中有几对这样的数?快快后天要考
两个不同的整数,它们的积可被和整除,这样一对数,是好数,问在1~16中有几对这样的数?
快快后天要考
两个不同的整数,它们的积可被和整除,这样一对数,是好数,问在1~16中有几对这样的数?快快后天要考
同学很牛啊考题都让你搞来了3×6÷（3+6）=2；
4×12÷4+12）=4；
6×12÷（6+12）=4；
10×15÷（10+15）=6应该是这四对
不妨设这两数为a和b且 a>b 由题意存在正整数k使得 ab=k(a+b)
设g=gcd(a,b) 且 a=pg,b=qg，其中p,q互素且q
所以k=pqm m为某整数
g=m(p+q)
a=mp(p+q) b=mq(p+q) ...
全部展开
不妨设这两数为a和b且 a>b 由题意存在正整数k使得 ab=k(a+b)
设g=gcd(a,b) 且 a=pg,b=qg，其中p,q互素且q
所以k=pqm m为某整数
g=m(p+q)
a=mp(p+q) b=mq(p+q)
考虑到q>=1 p>=2 a>=6m 所以m<=a/6<16/6 m=1或2
若m=2 则a=mp(p+q)>=12 a只能是12或14或16
a=12 p(p+q)=6 p=2,q=1 此时a=12,b=6第一种
a=14 p(p+q)=7 无解
a=16 p(p+q)=8 无解 注意p和p+q是互素的
若m=1 则 a=p(p+q) b=q(p+q)
由p^2
q=2 a=15 b=10 第四种
收起