在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB等于60度证明AD垂直平面PAB.要有没有人懂啊

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 13:34:09

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB等于60度证明AD垂直平面PAB.要有没有人懂啊
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB等于60度证明AD垂直平面PAB.要
有没有人懂啊

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB等于60度证明AD垂直平面PAB.要有没有人懂啊
此题目60度的条件是多余的.DA垂直于PA（等等腰直角三角形）,DA垂直于AB（矩形）.所以,DA就垂直于两条相交直线所确定的平面PAB.如图.

（1）证明：在△PAD中，
由题设PA=2，PD=2
2
可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．
又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
PB⊂面PAB，所以AD⊥PB
（2）过点P做PH⊥AB于H，
过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PA...

全部展开

（1）证明：在△PAD中，
由题设PA=2，PD=2
2
可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．
又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
PB⊂面PAB，所以AD⊥PB
（2）过点P做PH⊥AB于H，
过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，
所以AD⊥PH．
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．所以，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，PH=PA•sin60°=
3
，AH=PA•cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=
AB2+AD2
=
13
，HE=
AD
BD
•BH=
4
13
，
于是在RT△PHE中，tanPEH=
39
4
，
所以二面角P-BD-A的正切值大小为
39
4 ．

收起

在△PDA中
AD²+PA²=8=PD²
所以DA⊥PA （1）
在矩形ABCD中
DA⊥AB （2）
PA与AB相交于A
所以AD垂直平面PAB

后面会有一个问的（2）求异面直线PC与AD所成角的正切值？

PD=2倍根号2吗？如果是的话，由勾股定理知三角形PAD是直角三角形，PA垂直AD；另外由于底面ABCD是巨型，故AD垂直BA，而PD与AD相交，则AD垂直平面PAB，你没有给图，不知道我理解的各点的位置关系是否正确，但这样的话条件没用完。。下面是我画的图：

证明：因为四边形ABCD是矩形
所以AD垂直AB
又因为PA=2，AD=2，PD=2根号2，符合勾股定理
所以AD垂直于PA
又因为PA交AB于A
所以AD垂直面PAB