作业帮2012年内蒙古呼和浩特如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F． (1)求证：AF﹣BF=EF； (2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 07:46:22
2012年内蒙古呼和浩特如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F． (1)求证：AF﹣BF=EF； (2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方
2012年内蒙古呼和浩特
如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F．
(1)求证：AF﹣BF=EF；
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形边长为3,求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．
2012年内蒙古呼和浩特如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F． (1)求证：AF﹣BF=EF； (2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方
(1)证明：如图,∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°,
∵DE⊥AG,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
又∵BF∥DE,
∴∠AEB=∠AED=90°,
在△AED和△BFA中,
∵,
∴△AED≌△BDA(AAS),
∴BF=AE,∵AF﹣AE=EF,
∴AF﹣BF=EF；
如图,
根据题意知：∠FAF′=90°,DE=AF′=AF,
∴∠F′AE=∠AED=90°,即∠F′AE+∠AED=180°,
∴AF′∥ED,
∴四边形AEDF′为平行四边形,又∠AED=90°,
∴四边形AEDF′是矩形,
∴EF′=AD=3．
解析：
分析：(1)由四边形ABCD为正方形,可得出∠BAD为90°,AB=AD,进而得到∠BAG与∠EAD互余,又DE垂直于AG,得到∠EAD与∠ADE互余,根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF,利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等,利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE,由AF﹣AE=EF,等量代换可得证；
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,连接EF′,如图所示,由旋转的性质可得出∠FAF′为直角,AF=AF′,由第一问的全等可得出AF=DE,等量代换可得出DE=AF′=AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形,再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形,根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD,由AD的长即可求出EF′的长．
点评：此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,以及旋转的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键