作业帮用于解差分方程的特征方程法的原理是什么?最好详细给出原理证明过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:04:12
用于解差分方程的特征方程法的原理是什么?最好详细给出原理证明过程
用于解差分方程的特征方程法的原理是什么?最好详细给出原理证明过程
用于解差分方程的特征方程法的原理是什么?最好详细给出原理证明过程
其实我也不是很明白,但是我有一些心得可以与你共享,举一个最简单的二阶齐次差分方程
Dn=pDn-1+qDn-2,其特征方程为λ²-pλ-q=0,但是实际上还可以列出下式：
[Dn ] = [ p q ] [Dn-1] ,设矩阵A= [ p q ],我们设向量Fn=[Dn+1],F1=[D2]
[Dn-1] [ 1 0 ] [Dn-2] [ 1 0 ] [Dn ] [D1]
Fn=AFn-1=A^(n-1)F1,通常F1是已知的,所以我们只需要求A^(n-1),
设法把矩阵A对角化是比较简单的方法,而A的特征多项式正是λ²-pλ-q=0,其两个特征根是该方程的两个解,下面必须分情况讨论,如果A的特征值λ1,λ2是2相异实根,那么A必可对角化,
即P^(-1)AP=∧,而由于A是个确定的矩阵,所以P^(-1)和P可以是一组确定的矩阵,然后代入可以得出通项Dn=C1λ1ⁿ+C2λ2ⁿ;(实际上,如果你够有耐心,甚至可以把C1,C2两个常数算出来)
如果A的特征值是相同特征值λ,那么首先要证明A必不可对角化,然后就是将A相似于jordan矩阵,
J2=[ λ 0 ],J2ⁿ=[ λⁿ 0 ],然后代入一样能得到Dn=(C1+C2n)λⁿ的形式
[ 1 λ ] [ nλ^(n-1) λⁿ]
有复根的时候,特征值是复数,按照复数的幂函数来求,最后通过Euler公式求出其实数范围的解就行.目前只研究到2阶,高阶和非齐次的我也不怎么清楚,上面写的希望能对有楼主有用
参考资料里面有用线性代数方法解差分方程的题目的例子
差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。 比如 dy+y*dx=0 ,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] (注： 解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为：
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差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。 比如 dy+y*dx=0 ,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] (注： 解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为：
差分方程
y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k＝0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组） 利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。 §1 基本理论
差分方程
1. 差分 2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下： Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有 Δ2xn=Δ(Δkxn).
性质
性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn 性质2 Δk(cxn)=cΔkxn 性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j 性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有 Δkxn=f(k)(η) 差分方程 定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程： xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……) 其中a1,a2,------ak 为常数， ak≠0. 若b=0,则该 方程是齐次方程 关于λ 的代数方程 λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。
具体的你可以看下http://baike.baidu.com/view/142920.htm
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