求积分:∫[1/sinx(1-cosx)]dx,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 16:49:27

求积分:∫[1/sinx(1-cosx)]dx,
求积分:∫[1/sinx(1-cosx)]dx,

求积分:∫[1/sinx(1-cosx)]dx,
∫ 1/[(1-cosx)*sinx] dx
= ∫ (1+cosx)/[(1-cos²x)*sinx] dx,分子,分母,各乘以一个(1+cosx)
= ∫ (1+cosx)/sin³x dx
= ∫ csc³x dx + ∫ csc²xcotx dx
= J + ∫ csc²xcotx dx
= J - ∫ cotx d(cotx)
= J - (1/2)cot²x
J = ∫ csc³x dx = -∫ cscx d(cotx),这个是典型的三角函数积分,一般都要熟练的
= -cscxcotx + ∫ cotx d(cscx)
= -cscxcotx - ∫ cot²xcscx dx,分部积分法
= -cscxcotx - ∫ (csc²x-1)*cscx dx
= -cscxcotx - J + ∫ cscx dx
2J = -cscxcotx + ∫cscx(cscx+cotx)/(cscx+cotx) dx
J = -(1/2)cscxcotx - (1/2)ln|cscx+cotx|
∴原式= -(1/2)(cscxcotx + ln|cscx+cotx| + cot²x) + C

全部展开

原式＝∫｛sinx/［（sinx）^2（1－cosx）］｝dx
　　＝－∫｛1/［（sinx）^2（1－cosx）］｝d（cosx）。
令cosx＝u，则：（sinx）^2＝1－（cosx）^2＝1－u^2。
∴原式＝－∫｛1/［（1－u^2）（1－u）］｝du
　　　＝－（1/2）∫｛（1＋u＋1－u）/［（1＋u）（1－u）^2］｝du
　　　＝－（1/2）∫［1/（1－u）^2］du－（1/2）∫［1/（1－u^2）］du
　　　＝（1/2∫［1/（1－u）^2］d（1－u）－（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du
　　　＝－（1/2）/（1－u）－（1/4）∫［1/（1－u）］du－（1/4）∫［1/（1＋u）］du
　　　＝1/（2u－1）＋（1/4）ln｜1－u｜－（1/4）ln｜1＋u｜＋C
　　　＝1/（cosx－1）＋（1/4）ln｜（1－cosx）/（1＋cosx）｜＋C
　　　＝1/（cosx－1）＋（1/4）ln｜（1－cosx）^2/［1－（cosx）^2］｜＋C
　　　＝1/（cosx－1）＋（1/2）ln（1－cosx）－（1/2）ln｜sinx｜＋C

收起

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