作业帮求剪去三个相同的四边形剩余部分所拼成的一个无盖正三棱柱的最大容积.V′＝9√3x²-6ax+（√3/4）a²这一部是怎么化过来的!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 08:18:00
求剪去三个相同的四边形剩余部分所拼成的一个无盖正三棱柱的最大容积.V′＝9√3x²-6ax+（√3/4）a²这一部是怎么化过来的!
求剪去三个相同的四边形剩余部分所拼成的一个无盖正三棱柱的最大容积.
V′＝9√3x²-6ax+（√3/4）a²这一部是怎么化过来的!
求剪去三个相同的四边形剩余部分所拼成的一个无盖正三棱柱的最大容积.V′＝9√3x²-6ax+（√3/4）a²这一部是怎么化过来的!
经过对问题的反推,可还原你的问题.
有一个边长为a的正三角形ABC,内部有一个与三边平行的正三角形A1B1C1,平行间距相等为x,分别从内正三角形各顶点向外边作垂线段,然后剪去三个大三角形顶点上的四边形,即可折出一个无上盖的正三棱柱,其底三角形就内部小正三角形,
大三角形高h1=√3a/2,
小三角形高h2=√3a/2-x-2x=√3a/2-3x,
小三角形边长为2（√3a/2-3x）/√3,
正三棱柱高为x,
S△A1B1C1=A1B1*h2/2=[2(√3a/2-3x)/√3]*（√3a/2-3x）/2
=√3（√3a/2-3x）^2/3,
V三棱柱=S△A1B1C1*x=√3x（√3a/2-3x）^2/3=3√3x^3-3ax^2+√3a^2x/4,
要得到最大容积,则对x求导数,
V'=9√3x^2-6ax+√3a^2/4,
令V'=0,
9√3x^2-6ax+√3a^2/4=0,
9x^2-2√3ax+a^2/4=0,
36x^2-8√3ax+a^2=0,
x1=√3a/6,x2=√3a/18
当x<√3a/18时,f'(x)>0,函数单调增,
√3a/6>x>√3a/18时,f'(x)<0,函数单调减,
∴x=√3a/18为极大值,
∴当x〈√3a/6时,f'(x)<0,函数单调减,
当x〉√3a/6时,f'(x)<0,函数单调增,
∴x=√3a/6为极小值,
∴x=√3a/18时可得到最大容积.