作业帮棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:09:20
棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?
棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?
棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M是棱AA'的中点,过C,M,D'作正方体的截面,则截面的面积为?
延长D′M交DA的延长线于E,连CE交AB于F,则MD′CF就是过C、M、D′的截面.
∵ABCD－A′B′C′D′是正方体,∴AD＝A′D′,且EA∥A′D′,又AM＝A′M,∴△AEM≌△A′D′M,
∴AE＝A′D′,∴AE＝AD.
∵ABCD－A′B′C′D′是正方体,∴AB＝DC,且AF∥DC,又AE＝AD,∴AF＝DC/2＝AB/2,
结合AM＝A′M,得：MF∥A′B.
∵ABCD－A′B′C′D′是正方体,∴A′B∥D′C,结合证得的MF∥A′B,得：MD′CF是梯形.
∵ABCD－A′B′C′D′是正方体,∴AM⊥平面ABCD,∴AM⊥AC.
由勾股定理,有：
MC^2＝AM^2＋AC^2＝（AB/2）^2＋（√2AD）^2＝1＋8＝9.
D′M^2＝A′M^2＋A′D′^2＝（AA′/2）^2＋4＝1＋4＝5,∴D′M＝√5.
又D′C=√2DC＝2√2.
∴由余弦定理,有：
cos∠MD′C＝（D′M^2＋D′C^2－MC^2）/（2D′M×D′C）＝（5＋8－9）/（2√5×2√2）＝1/√10.
∴sin∠MD′C＝√（1－1/10）＝3/√10.
∴梯形MD′CF的高＝D′Msin∠MD′C＝√5（3/√10）＝3/√2.
∴梯形MD′CF的面积＝［（MF＋D′C）×（3/√2）］/2＝［（√2AF＋√2CD）×（3/√2）］/2
＝3（AF＋CD）/2＝3（AB/2＋2）/2＝3（1＋2）/2＝9/2.
即：所要求的截面的面积为9/2.