作业帮设函数f(x)=log0.5(1-ax/x-1)为奇函数,a为常数,1).求a的值2)证明f(x)在区间（1,正无穷）内单调递增
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 02:05:18
设函数f(x)=log0.5(1-ax/x-1)为奇函数,a为常数,1).求a的值2)证明f(x)在区间（1,正无穷）内单调递增
设函数f(x)=log0.5(1-ax/x-1)为奇函数,a为常数,1).求a的值2)证明f(x)在区间（1,正无穷）内单调递增
设函数f(x)=log0.5(1-ax/x-1)为奇函数,a为常数,1).求a的值2)证明f(x)在区间（1,正无穷）内单调递增
1)因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
即(1-ax)/(x-1)*(1+ax)/(-x-1)=0.5^0=1,
所以1-a^2x^2=1-x^2,所以a^2=1.
当a=1时,(1-ax)/(x-1)=-1不合,所以a=-1；
2)f(x)=log0.5[(1+x)/(x-1)]
因为(1+x)/(x-1)=1+2/(x-1),
当x属于（1,正无穷）时,2/(x-1)递减,
所以(1+x)/(x-1)递减,而0
(1)由于是奇函数，定义域必须要关于原点对称
定义域满足：1-ax/x-1>0
当a=0显然解为x>1不关于原点对称
当a>0可化为ax-1/x-1<0
解为：1/a
当a<0时解为x>1或x<1/a
要对称则1/a=-1 解得a=-1
(2)f(x)=log0.5(x+1...
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(1)由于是奇函数，定义域必须要关于原点对称
定义域满足：1-ax/x-1>0
当a=0显然解为x>1不关于原点对称
当a>0可化为ax-1/x-1<0
解为：1/a
当a<0时解为x>1或x<1/a
要对称则1/a=-1 解得a=-1
(2)f(x)=log0.5(x+1/x-1)为一复合函数
外层y=log0.5x显然在定义域内单调递减
所以只要内层的(x+1/x-1)在(1,+∞)上递增就可以了
而x+1/x-1=1-2/x-1显然当x>1时单调递增
故命题得证
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