作业帮已知函数f（x）＝lnx＋2x－6,（1）证明：f（x）在其定义域上是增函数,（2）证明：f（x）有且只有一个零点,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 21:24:43
已知函数f（x）＝lnx＋2x－6,（1）证明：f（x）在其定义域上是增函数,（2）证明：f（x）有且只有一个零点,
已知函数f（x）＝lnx＋2x－6,（1）证明：f（x）在其定义域上是增函数,
（2）证明：f（x）有且只有一个零点,
已知函数f（x）＝lnx＋2x－6,（1）证明：f（x）在其定义域上是增函数,（2）证明：f（x）有且只有一个零点,
1.函数定义域为x>0.
y'=1/x+2 > 0.该函数是单调增函数.
y''=-1/x^2 < 0.函数是凸函数.
2.f'(x)=1/x+2>0,
所以f(x)单调递增,
又因为x趋向于0时,f(x)趋向于-∞,
当x=e时,f(x)>0,
所以f(x)只有一个零点
1.函数f（x）＝lnx＋2x－6,可得x>0
f(x)'=1/x+2
因为x>0,
所以f(x)'>0
所以f（x）在其定义域上是增函数
2.
（1）f（x）的定义域为：（0，+∞）
∵lnx和2x-6在（0，+∞）上都是增函数
∴f（x）=lnx+2x-6在（0，+∞）上是增函数
（2）∵f（1）=-4＜0，f（3）=ln3＞0
∴ f（x）=lnx+2x-6在区间（1，3）至少有一个零点
又f（x）=lnx+2x-6在（0，+∞）上是增函数
...
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（1）f（x）的定义域为：（0，+∞）
∵lnx和2x-6在（0，+∞）上都是增函数
∴f（x）=lnx+2x-6在（0，+∞）上是增函数
（2）∵f（1）=-4＜0，f（3）=ln3＞0
∴ f（x）=lnx+2x-6在区间（1，3）至少有一个零点
又f（x）=lnx+2x-6在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在区间（1，3）有且只有一个零点，并且当x≤1时，f（x）≤f（1）＜0 ，当x≥3时，f（x）≥f（3）＞0
∴f（x）有且只有一个零点
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1、函数定义域为x>0。
设x1>x2>0，
f（x1）-f（x2）=（lnx1＋2x1－6）-（lnx2＋2x2－6）
=（lnx1-lnx2）+（2x1-2x2）
=ln（x1/x1）+2（x1-x2）
因为x1>x2>0，x1-x2>0，x1/x2>1，ln（x1/x1）>0
所以f（x1）-f（x2）>0即
f（x1）>f（x2）
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1、函数定义域为x>0。
设x1>x2>0，
f（x1）-f（x2）=（lnx1＋2x1－6）-（lnx2＋2x2－6）
=（lnx1-lnx2）+（2x1-2x2）
=ln（x1/x1）+2（x1-x2）
因为x1>x2>0，x1-x2>0，x1/x2>1，ln（x1/x1）>0
所以f（x1）-f（x2）>0即
f（x1）>f（x2）
所以f（x）是单调增函数。
2、取两个特殊值
f(1)=ln1＋2*1－6= -4<0
f(e)=lne＋2e－6=2e－5>0
所以f（x）有零点。
又f(x)单调递增，
所以f(x)只有一个零点
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