作业帮已知圆F1：（x+2）^2+y^2=4,和点F2(2,0),A是圆F1上任一点,直线AF1和线段AF2的垂直平分线交点P的轨迹为C.1,求曲线C的方程2,过F1作直线交曲线C于M、N,以MN为直径的圆过原点,求该圆面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 05:13:24
已知圆F1：（x+2）^2+y^2=4,和点F2(2,0),A是圆F1上任一点,直线AF1和线段AF2的垂直平分线交点P的轨迹为C.1,求曲线C的方程2,过F1作直线交曲线C于M、N,以MN为直径的圆过原点,求该圆面积
已知圆F1：（x+2）^2+y^2=4,和点F2(2,0),A是圆F1上任一点,直线AF1和线段AF2的垂直平分线交点P的轨迹为C.
1,求曲线C的方程
2,过F1作直线交曲线C于M、N,以MN为直径的圆过原点,求该圆面积
已知圆F1：（x+2）^2+y^2=4,和点F2(2,0),A是圆F1上任一点,直线AF1和线段AF2的垂直平分线交点P的轨迹为C.1,求曲线C的方程2,过F1作直线交曲线C于M、N,以MN为直径的圆过原点,求该圆面积
1）
P在线段AF2的垂直平分线上,|PA|=|PF2|
P在AF1上,|PA|=|PF1|±|F1A|=|PF1|±2
所以,||PF1|-|PF2||=2
即：曲线C是以F1、F2为焦点,a=1的双曲线
c=2,a=1,b^2=c^2-a^2=3
曲线C的方程:x^2-y^2/3=1
2)
设直线方程：y=k(x+2)交曲线C于M(x1,y1),N(x2,y2)
把：y=k(x+2)代人x^2-y^2/3=1得：
x^2-k^2(x+2)^2/3=1
(3-k^2)x^2-4k^2x-(4k^2+3)=0
x1+x2=4k^2/(3-k^2),x1x2=-(4k^2+3)/(3-k^2)
y1+y2=k(x1+x2)+4k=12k/(3-k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=36(1+k^2)/(3-k^2)^2
所以,
MN中点坐标((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即：(2k^2/(3-k^2),6k/(3-k^2))
|MN|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=6(1+k^2)/|3-k^2|
半径= 3（1+k^2)/|3-k^2|
所以,[2k^2/(3-k^2)]^2+[6k/(3-k^2)]^2=[3（1+k^2)/|3-k^2|]^2
5k^4-18k^2+9=0
k^2=3/5,或,k^2=3(增根,舍去）
所以,k^2=3/5
半径=3(1+3/5)/|3-3/5|=2
面积=π*2^2=4π
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