作业帮2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形求n*n个方格中有多少个正方形?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:20:15
2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形求n*n个方格中有多少个正方形?
2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形
求n*n个方格中有多少个正方形?
2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形求n*n个方格中有多少个正方形?
边长为1的正方形共有n^2个
为2的有(n-1)^2个
以此类推 直到边长为n的共有1个
即总共有1^2+2^2+3^2.+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 个
推导的方法：
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形,
第一行1个圈,圈内的数字为1
第二行2个圈,圈内的数字都为2,
以此类推
第n行n个圈,圈内的数字都为n,
我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
5=1+2*2=1*1+2*2
14=5+3*3=1*1+2*2+3*3
30=14+4*4=1*1+2*2+3*3+4*4
55=30+5*5=1*1+2*2+3*3+4*4+5*5
依次规律可得到n*n个方格中的正方形数为1*1+2*2+3*3+4*4+········+(n-1)*(n-1)+n*n
N2+(N-1)2+……+22+12