已知函数f(x)=x-1-alnx,求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 01:01:52

已知函数f(x)=x-1-alnx,求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.

已知函数f(x)=x-1-alnx,求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
对f(x)求导,可得f‘(x)=1-a/x
可知,当x=a时可取最小值（可有f’(x)的取值变化得知）.
所以f(a)最小值为a-1-alna,只要最小值≥0恒成立,那么f(x)≥0恒成立.
再由f(a)对a求导,则有f‘(a)=-lna,所以a=1时又可取最小值,f(a)最小值为0.
所以,可知f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.

先证充分性，当a=1时f(x)=x-1-alnx,记g(x)=x-alnx,对其求导可得出g(x)>=1,故f(x)>=0
在证必要性，对f(x)=x-1-alnx求导在讨论相信你可得出结论。不懂追问哦

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